Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

Объем спроса $Q$ единиц в месяц на продукцию предприятия $N$ зависит от цены $P$ в тыс. руб. по формуле $Q (P) = 50 − P 2$ . Месячная выручка $R$ в тыс. руб. предприятия $N$ вычисляется по формуле $R = P ⋅ Q$ . Определите наименьшую цену $P$ , при которой месячная выручка $R$ составит $136$ тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

$R = P ⋅ Q = 50P − P 3$ . Месячная выручка составит $136$ тыс. руб. при цене $P$ , которая может быть найдена из уравнения

50P − P 3 = 136 ⇔ P 3 − 50P + 136 = 0.

Можно угадать один из корней последнего уравнения: $P = 4$ . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(P − 4 )$ при помощи деления столбиком:

3 2 | P + 0 ⋅ P − 50P + 136 | ----P-−--4----- P-3 −--4P-2- | P 2 + 4P − 34 4P 2 − 50P | 4P-2 −-16P-- | − 34P + 136 | −-34P-+-136- | 0 |

Таким образом,

3 2 P − 50P + 136 = (P − 4)(P + 4P − 34).

Рассмотрим отдельно уравнение $P 2 + 4P − 34 = 0$ . Его корни $P = − 2 ± √38-$ .

В итоге уравнение $3 P − 50P + 136 = 0$ имеет корни $√ --- √ --- P1 = 4, P2 = − 2 + 38, P3 = − 2 − 38$ . Так как цена $P > 0 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ не подходит.

Среди $P1$ и $P2$ меньшим является $P1 = 4$ (так как $√ --- √ --- P2 = 38 − 2 > 36 − 2 = 6 − 2 = 4 » class=»math» width=»auto»>). </p> <p class=$ Итого: наименьшая цена $P$ , при которой месячная выручка $R$ составит $136$ тыс. руб., равна $4$ тыс. руб.