Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению неравенств» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле $F = ρghSдна,$ где $F$ — сила давления в ньютонах, $ρ$ — плотность жидкости в $кг/м3,$ $h$ — высота столба жидкости в метрах, $Sдна$ — площадь дна в $м2.$ В какое наименьшее число раз надо увеличить радиус основания цилиндра при прочих неизменных параметрах, чтобы сила давления на дно сосуда увеличилась не менее чем в 16 раз?

Для начальных параметров используем индекс 0, тогда

ρghSдна = F ≥ 16F0 = 16ρghSдна0

откуда $S ≥ 16S . дна дна0$

Так как $Sкруга = πr2,$ где $r$ — радиус этого круга, то неравенство эквивалентно

r2− 16r02 ≥ 0

Обозначим искомое отношение через $k = r-, r0$ тогда $r = kr0$ и неравенство перепишется в виде

k2r02− 16r02 ≥ 0 ⇔ k2 − 16 ≥0

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $k2− 16= 0:$

k =±4

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Так как $k ≥0,$ то подходят значения $k ≥ 4,$ то есть радиус основания цилиндра надо увеличить минимум в 4 раза.

Задачи, сводящиеся к решению неравенств