Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению неравенств» №25

Просмотров 5 Комментарии 0

Высота сигнальной ракеты после выстрела и до падения менялась по закону $h = 80t− 5t2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела до момента падения сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров?

Моменты $t,$ в которые сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров удовлетворяют двойному неравенству

2 0≤ 80t− 5t ≤ 140.

Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $0 ≤ 80t − 5t2.$ Оно равносильно неравенству

2 5t − 80t≤ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 80t =0 :$

t1 = 0, t2 = 16,

тогда:

$PIC$

тогда решениями этого неравенства будут $t ∈[0;16].$

Рассмотрим теперь неравенство $80t− 5t2 ≤ 140.$ Оно равносильно неравенству $5t2− 80t+140≥ 0,$ что равносильно

t2− 16t+ 28≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2− 16t+ 28= 0 :$

t1 = 2, t2 = 14,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥0$ подходят только $t∈ [0;2]∪[14;+ ∞ ).$

В итоге сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров в моменты $t ∈[0;2]∪ [14;16],$ то есть в течение $(2− 0)+ (16 − 14)= 4$ секунд.

Задачи, сводящиеся к решению неравенств