Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению неравенств» №17

Просмотров 6 Комментарии 0

Маша подбросила мячик, высота которого до падения меняется по закону $h =1 +7t− 5t2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента подбрасывания мячик находился на высоте не менее 1 метра, но не более 2,2 метра?

Моменты $t,$ в которые мячик находился на высоте от 1 метра до 2,2 метра, удовлетворяют двойному неравенству

2 1 ≤ 1+ 7t− 5t ≤ 2,2

Решим оба неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $1 ≤ 1+ 7t− 5t2.$ Оно равносильно неравенству

2 5t − 7t ≤0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 7t= 0:$

t1 =0, t2 = 1,4

Тогда:

$PIC$

и решениями этого неравенства будут $t∈ [0;1,4].$

Рассмотрим теперь неравенство $1 +7t− 5t2 ≤ 2,2.$ Оно равносильно неравенству

5t2 − 7t+ 1,2 ≥ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 7t+1,2= 0:$

t1 = 0,2, t2 = 1,2

Тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥0,$ подходят только $t∈[0;0,2]∪[1,2;+∞ ).$

В итоге мячик находился на высоте не менее 1 метра, но не более 2,2 метра в моменты $t∈ [0;0,2]∪ [1,2;1,4],$ то есть в течение $(0,2 − 0)+ (1,4− 1,2) =0,4$ секунды.

Задачи, сводящиеся к решению неравенств