Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению неравенств» №14

Просмотров 9 Комментарии 0

Проводя опыты с погружением тела, ограниченного поверхностью куба, в жидкость, Настя вспомнила, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая находится по формуле $FA = ρgV,$ где $ρ$ – плотность воды в $кг/м3,$ $g = 9,8 м/с2$ – ускорение свободного падения, $V$ — объем тела в $м3.$ Она задумалась, в какое минимальное число раз надо увеличить каждое ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза. Какой ответ она должна получить при правильном вычислении?

Пусть длина ребра начального куба равна $x$ м, тогда объем ограниченного им тела равен $x3 м3,$ следовательно, начальная сила Архимеда равна $FAн =ρgx3.$ Обозначим ребро искомого куба за $y.$ Так как сила Архимеда должна увеличиться не менее, чем в 64 раза, то

3 3 3 3 3 3 ρgy ≥ 64FAн = 64ρgx ⇔ y − 64x ≥ 0 ⇔ y − (4x) ≥ 0.

Так как фактически в задаче просят найти именно отношение $y$ к $x,$ то обозначим $y = z, x$ откуда $y = zx,$ следовательно,

3 3 (zx) − (4x) ≥0.

Последнее неравенство можно разделить на $x3$ с учётом того, что x3 > 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1585-12.svg» width=»auto»> так как <img alt= 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1585-13.svg» width=»auto»> В результате получим

3 3 z − 4 ≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $z3− 43 = 0:$ $z = 4,$ тогда:

$PIC$

То есть минимальное число раз, в которое надо увеличить ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза, равно 4.