Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, сводящиеся к решению неравенств» №12

Аня подбросила толстого плохо обтекаемого кота. Высота, на которой он находился до достижения люстры, менялась по закону

h = 1 + 8t − 8t2,

где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. После достижения люстры (которая висела на высоте $h = 3$ м) кот провисел на ней 1 секунду и упал вместе с ней. Во время падения кота его высота до благополучного приземления на лапы менялась по закону $2 h = 3 − 2t$ , где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента совместного падения кота и люстры. Сколько секунд с момента подбрасывания кот находился на высоте не менее $1$ метра?

Моменты $t$ , в которые кот находился на высоте не менее $1$ метра пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству

1 ≤ 1 + 8t − 8t2 ≤ 3.

Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $1 ≤ 1 + 8t − 8t2$ . Оно равносильно неравенству

t2 − t ≤ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2 − t = 0$ :

t1 = 0, t2 = 1,

тогда:

$PIC$

тогда решениями этого неравенства будут $t ∈ [0;1]$ .

Рассмотрим теперь неравенство $1 + 8t − 8t2 ≤ 3$ . Оно равносильно неравенству

4t2 − 4t + 1 ≥ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $4t2 − 4t + 1 = 0$ :

t = 0,5,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥ 0$ подходят только $t ≥ 0$ .

По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент $t = 0,5$ ) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону $2 h = 1 + 8t − 8t$ , следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только $t ∈ [0; 0,5]$ .

Тогда общее решение двух неравенств: $t ∈ [0;0,5]$ , то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение $0, 5 − 0 = 0,5$ секунд.

Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать и до падения его высота менялась по закону $2 h = 3 − 2t$ .

Моменты $t$ , в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству $3 − 2t2 ≥ 1$ , которое равносильно

t2 ≤ 1.

Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения $3 − 2t2 = 1$ :

t1 = − 1, t2 = 1,

тогда:

$PIC$

так как нас интересуют только $t ≥ 0$ , то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее $1$ метра в моменты $t ∈ [0;1 ]$ , то есть в течение $1 − 0 = 1$ секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение $0, 5 + 1 + 1 = 2, 5$ секунд.