Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите корень уравнения

2 (h(x)⋅x + 3h(x)⋅x − 10h(x))⋅h(5x) = 0,

если $h(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = − 25,$ причём $h(z) < 0$ при всех допустимых $z.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

ОДЗ: $x ⁄= − 25$ и $5x ⁄= − 25,$ что равносильно $− 25 ⁄= x ⁄= − 5.$ Решим на ОДЗ:

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только том случае, если хотя бы один из них равен нулю и все они не теряют смысл.

Тогда в силу того, что $h(z) < 0$ при всех допустимых $z,$ на ОДЗ исходное уравнение равносильно

2 2 h(x)⋅x +3h (x) ⋅x − 10h(x) = 0 ⇔ h(x) ⋅(x + 3x− 10) = 0,

что аналогично на ОДЗ равносильно

x2 + 3x− 10 = 0,

Дискриминант $D = 9+ 40 = 49,$ откуда

x1 = − 3-+7-= 2, x2 = −-3−-7 = − 5, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 2.$

Задачи повышенного уровня сложности