Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №33

Просмотров 7 Комментарии 0

Сколько корней имеет данное уравнение?

∘--4---3---2------- ∘ -3----2------- x + x + x + x + 1+ x + 3x + x + 1 = 0

ОДЗ:

{ 4 3 2 x3 + x +2 x + x + 1 ≥ 0 x + 3x + x+ 1 ≥ 0

Так как при любом $a ≥ 0$ имеем $√ -- a ≥ 0,$ то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда

{√ -4---3----2------- √ x-+-x--+-x-+-x+ 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0 ,

что равносильно

{ x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0.

Из второго уравнения получаем:

3 2 2 3 2 2 x + x +3x + x+ 1 = 0 ⇔ x + x + x+ 1 = − 2x

Подставляя это в первое уравнение, находим:

√ - √ - x4 − 2x2 = 0 ⇔ x2(x − 2)(x + 2) = 0

Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа $0,$ $√- 2,$ $√ - − 2.$

Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при $√ - x = − 2 :$

√- √- √ - x4 + x3 + x2 + x + 1 = 4 − 2 2+ 2 − 2 + 1 = 7− 3 2 ⁄= 0

В итоге, ответ: 0.