Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №24

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите корень уравнения

2 f (x)− 4f(x)− 5 = 0,

если $f(x)$ – некоторая функция, определённая всюду, область значений которой – множество положительных чисел, причём $f(x) = 5$ при $x = − 1$ и при $x = 3$ . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Сделаем замену $f(x) = t$ , тогда исходное уравнение примет вид

2 t− 4t− 5 = 0.

Дискриминант $D = 16+ 20 = 36,$ тогда корни

t = 4-+6-= 5, t = 4−-6-= − 1. 1 2 2 2

Тогда $f(x) = 5$ или $f(x) = − 1,$ но по условию $f(x)$ может принимать только положительные значения, следовательно, $f(x) = − 1$ быть не может.

Так как $f(x) = 5$ по условию выполняется при $x = − 1$ и при $x = 3,$ то у исходного уравнения два корня $x1 = − 1,$ $x2 = 3.$ Меньший из корней: $x = − 1.$

Задачи повышенного уровня сложности