Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №16

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите уравнение. В ответ укажите сумму квадратов корней уравнения, если они есть, и $0$ , если уравнение не имеет корней.

√- 2 √ -- √ -- 5x − 13x− 20 = 0

Так как √- √-- D = 13+ 4 ⋅ 5 ⋅ 20 = 13+ 40 = 53 > 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-784-1.svg» width=»auto»> то уравнение имеет корни. </p>
<p class=

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда $√13 a+ b = √--- 5$ и $√20- ab = −-√--. 5$

(√ --)2 ( √ --) 2 2 2 2 2 2 2 -√13 -√20 13 a + b = a +2ab + b − 2ab = (a+ b) − 2ab ⇒ a + b = 5 − 2⋅ − 5 = 5 + 4 = 6,6

2 способ.

Корни уравнения

√13-− √53 √13-+ √53 x1 = ----√----- и x2 = ----√----- 2 5 2 5

Тогда

( √13 − √53-)2 13 − 2√13√53-+ 53 x21 = ----√----- = ----------------- 2 5 20 ( √13 +√53-)2 13 + 2√13√53-+ 53 x22 = ----√----- = ----------------- 2 5 √ --√ -- 20 √--√ -- 2 2 13-−-2-13--53-+-53 13-+-2-13--53+-53 ⇒ x1 + x2 = 20 + 20 = 6,6

Заметим, что первый способ вычислительно проще.