Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите значение выражения

x1x2-+-x1x3 +-x2x3 x1x2x3 ,

где $x1,$ $x2,$ $x3$ – различные корни уравнения $x3 − 10x2 − 225x + 2250 = 0.$

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ отношение $c a$ равно значению выражения $x1x2 +x2x3 + x3x1,$ где $x1,$ $x2,$ $x3$ – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения $x1x2 + x2x3 + x3x1$ для исходного уравнения равно

− 225 --1--= − 225

По теореме Виета для уравнения третьей степени $ax3 + bx2 + cx+ d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $− da$ , тогда произведение $x1x2x3$ корней рассматриваемого уравнения равно

− 2250= − 2250 1

В итоге

x1x2 +-x1x3 +-x2x3-=-− 225-= 0,1 x1x2x3 − 2250