Задача к ЕГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите корень уравнения

2√ - √- 3ψ ( ex)− 5ψ( ex) − 2 = 0,

если $ψ(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = 1,$ область значений которой – множество не положительных чисел, причём $1 ψ(z) = − 3$ при $√- z = − e$ и при $√ - z = 2 e.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

ОДЗ: $√- ex ⁄= 1,$ что равносильно $1 x ⁄= √e-.$ Решим на ОДЗ: Сделаем замену $√- ψ( ex) = t,$ тогда исходное уравнение примет вид

3t2 − 5t− 2 = 0

Дискриминант $D = 25+ 24 = 49,$ тогда корни

5 + 7 5− 7 1 t1 =--6--= 2, t2 = --6--= − 3

Тогда $- ψ(√ ex ) = 2$ или $- ψ (√ ex) = − 1, 3$ но по условию $ψ(z)$ может принимать только не положительные значения, следовательно, ψ(√ex ) = 2 > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-86-10.svg» width=»auto»> быть не может. </p>
<p class=

Так как $1 ψ(z) = − 3$ по условию выполняется при $√ - z = − e$ и при $√ - z = 2 e,$ то у исходного уравнения два корня $√ - √- ex1 = − e,$ $√- √- ex2 = 2 e,$ то есть $x1 = − 1$ и $x2 = 2.$ Больший из корней: $x = 2.$