Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на растворы, смеси и сплавы» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Смешав $30$ -процентный и $90$ -процентный растворы кислоты и добавив $10$ кг чистой воды, получили $42$ -процентный раствор кислоты. Если бы вместо $10$ кг воды добавили $10$ кг $50$ -процентного раствора той же кислоты, то получили бы $52$ -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов $30$ -процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий $0%$ кислоты.
Пусть $x$ кг – масса раствора с $30$ -процентным содержанием кислоты, $y$ кг – масса раствора с $90$ -процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение $42$ -процентного раствора:

$PIC$

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит $x$ кг, а в нем $30%$ кислоты, то в килограммах в нем $-30-⋅ x 100$ кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

30-- -90- -0-- -42- 100 ⋅ x + 100 ⋅ y + 100 ⋅ 10 = 100 ⋅ (x + y + 10 )

Аналогично составим схему, описывающую получение $50$ -процентного раствора:

$PIC$

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

30 90 50 52 ----⋅ x +----⋅ y + ----⋅ 10 =----⋅ (x + y + 10 ) 100 100 100 100

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем $x$ . Для этого можно умножить оба уравнения на $100$ , чтобы сделать их проще на вид:

{ 30x + 90y + 0 = 42 (x + y + 10 ) 30x + 90y + 50 ⋅ 10 = 52 (x + y + 10 )

Данная система равносильна системе

{ { 4y − x = 35 x = 25 ⇒ 19y − 11x = 10 y = 15

Таким образом, раствора с $30%$ кислоты было $25$ кг.