Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на прямолинейное движение» №16

Просмотров 7 Комментарии 0

Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.

Пусть $x$ км/ч – скорость автомобиля. Пусть $y$ км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно $y- x$ (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно $-y- 90$ (ч). Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно,

y- -y- x − 1 = 90

Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил $403 ---- x$ (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил $2y- 90$ . Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль:

403 2y ---- − 1 = --- x 90

Это второе уравнение. Составим систему:

( y y |{ --− 1 = --- x 90 |( 403- 2y- x − 1 = 90

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = -90y--- 90 + y$ и подставим во второе уравнение, получим:

2y2 − 313y − 403 ⋅ 90 = 0

Дискриминант $2 D = 313 + 2 ⋅ 4 ⋅ 403 ⋅ 90 = 388129$ . Извлечем корень из данного числа. Так как $6002 = 360000$ , а $7002 = 490000$ , то $√ ------- 600 < 388129 < 700$ . Так как $612 = 3721$ , $622 = 3844$ , $632 = 3969$ , то $√ ------- 620 < 388129 < 630$ . Подберем последнюю цифру: на конце дают $9$ следующие цифры, возведенные в квадрат: $3$ и $7$ ( $32 = 9,72 = 49$ ). Проверим: $6232 = 388129$ . Таким образом, $√D-- = 623$ .
Найдем корни:

[ y = 313-±--623 ⇒ y = 234 1,2 4 y = − 77, 5

Так как $y$ – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень $y = 234$ .