Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

У Игоря есть гири с массами $4$ , $5$ , $6$ , $7$ …, $2017$ .

а) Может ли Игорь уравновесить чашечные весы, использовав все гири разом?

б) Сможет ли Игорь уравновесить чашечные весы, использовав все гири, которые у него будут, когда Тимур подарит ему гирю с массой $1$ ?

а) Сумма масс имеющихся у Игоря гирь: $1 + 2 + ...+ 2017 − 1 − 2 − 3 = 2017-⋅ (2017-+-1)-− 6 = 2017 ⋅ 1009 − 6 2$ – нечётна, следовательно, имеющиеся у Игоря гири нельзя поставить на весы так, чтобы чаши уравновесились.

б) Так как теперь гирь $2017 − 3 + 1 = 2015$ , то их нельзя разбить на пары. Тогда возьмём и отложим в сторону гири с массами $1$ , $4$ и $5$ .

Разберёмся сначала с остальными гирями – их уже можно разбить на пары так, чтобы суммарные массы во всех парах были одинаковы: $(2017; 6)$ , $(2016;7)$ , …, $(1012;1011 )$ – всего $(2015 − 3 ) : 2 = 1006$ пар. Теперь можно на одну чашу весов положить все гири, которые попали в первые $1006 : 2 = 503$ пары, а на другую чашу весов все остальные гири, кроме гирь с массами $1$ , $4$ и $5$ .

На данный момент весы находятся в равновесии, а не использовали мы только те самые гири с массами $1$ , $4$ и $5$ . Остаётся только гирю с массой $5$ положить на одну чашу весов (любую), а гири с массами $1$ и $4$ – на другую чашу весов.