Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Можно ли расставить в квадрат $8 × 8$ числа $0$ , $1$ , $2$ так, чтобы суммы чисел по всем строкам и всем столбцам были различны?

Сумма восьми каких-нибудь чисел из множества ${0, 1,2}$ может быть равна $0$ , $1$ , $2$ , …, $15$ или $16$ . Пусть $ai$ – сумма чисел в $i$ -ой строке, $bj$ – сумма чисел в $j$ -ом столбце, тогда среди чисел $a1$ , …, $a8$ , $b1$ , …, $b8$ должны встретиться все числа из множества ${0, 1,...,16}$ , кроме одного.

При этом $a1 + ...+ a8 = b1 + ...+ b8$ , так как обе эти суммы есть просто сумма всех чисел в данной квадратной таблице. Тогда можно попробовать положить

$a1 = 16$ , $a2 = 1$ , $b1 = 15$ , $b2 = 2$ , $a3 = 14$ , $a4 = 3$ , $b3 = 13$ , $b4 = 4$ ,…, $a7 = 10$ , $a8 = 7$ , $b = 9 7$ , $b = 8 8$ .
Соответствующий способ заполнения квадратной таблицы приведён ниже:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 0 1 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 1 0