Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на клетчатой бумаге» №37

Просмотров 8 Комментарии 0

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Отметим точки $A, B, C, E :$

$ABCOE$

$BE⊥ AC,$ причем $BE = 9.$ Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры — это и высоты, и медианы, и биссектрисы.

То есть центр описанной окружности лежит на высоте $BE,$ которая также является и медианой. Пусть $O$ — центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины, то $OB :OE = 2:1,$ откуда

OB = 2BE = 6 3

Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть $OB.$ Таким образом, радиус равен 6.