Задача к ЕГЭ на тему «Задачи на движение по воде» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Отчалив одновременно от противоположных берегов реки, два парома встречаются на расстоянии $900$ метров от левого берега. Прибыв к месту назначения, каждый паром тут же отправляется обратно. Во второй раз паромы вновь встречаются на расстоянии $300$ метров от правого берега. Паромы двигаются с постоянной скоростью. Чему равна ширина реки? Ответ дайте в километрах.

Рассмотрим схематичный рисунок:

$PIC$

Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого $x$ км/ч, синего $y$ км/ч.
Из условия задачи следует, что $AC = 0,9$ км, $BD = 0,3$ км.
Пусть $BC = S$ . Тогда $AB = AC + BC = 0,9 + S$ . Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство:

S 0,9 x 0,9 --= ---- ⇒ -- = ---- y x y S

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное $AC + AD = AC + (AB − BD ) = 0,9 + 0,9 + S − 0,3 = 1,5 + S$ , а зеленый – равное $BC + BD = S + 0, 3$ . Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство:

1, 5 + S S + 0,3 x S + 0,3 -------- = -------- ⇒ --= -------- y x y 1,5 + S

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить:

0,9 S + 0,3 ----= -------- ⇒ S2 − 0,6S − 0,9 ⋅ 1, 5 = 0 S 1,5 + S

По теореме Виета корнями уравнения будут числа $− 0, 9$ и $1,5$ . Так как $S$ – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то $S = 1, 5$ . Следовательно, ширина реки равна $AB = 1,5 + 0,9 = 2, 4$ .