Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №9

Просмотров 9 Комментарии 0

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ , сторона основания которой равна $a = 4$ , боковое ребро $b = 7$ , $SO$ – высота. Через точку $L$ ( $SL : LO = 3 : 1$ ) проведена плоскость $α$ параллельно грани $SAB$ .

а) Доказать, что плоскость $α$ пересекает ребро $SD$ в точке $K$ , где $SK : KD = 3 : 5$ .

б) Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $α$ .

а) $PIC$

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые из одной плоскости будут параллельны некоторых двум пересекающимся прямым из другой плоскости.Проведем через точку $L$ прямые, параллельные $AB$ и $AS$ .
Из свойства правильного шестиугольника следует, что $F C ∥ AB$ . Проведем в плоскости $F SC$ через точку $L$ : $T N ∥ F C$ .

Тогда по теореме Фалеса $SN ST SL 3 ----= ----= ----= -- N C TF LO 1$

В плоскости $ASD$ проведем через точку $L$ : $KQ ∥ SA$ .

Из теоремы Фалеса следует, что $AQ SL 3 ----= ----= -- QO LO 1$

Пусть $AQ = 3x,QO = x$ . Из свойств правильного шестиугольника следует, что $DO = OA = 4x$ .

Тогда по теореме Фалеса $DQ--= DK-- = 5x-= 5- QA KS 3x 3$

б) Достроим сечение пирамиды плоскостью $α$ . Плоскость $α$ пересечет плоскость основания по прямой $RM ∥ AB, Q ∈ RM$ . Значит, $BM--- AR-- 3- M C = RF = 1$

Аналогично, плоскость $α$ пересекает грань $SED$ по прямой $PK ∥ ED ∥ AB$ . Таким образом, $M N KP TR$ – сечение.
Заметим, что сечение представляет собой две равнобокие трапеции $M N T R$ и $N KP T$ .

$PIC$

Найдем все их стороны.
Из подобия $3 3 △ ST N ∼ △SF C ⇒ TN = -F C = -a = 6 4 2$
Из подобия $△ CN M ∼ △CSB ⇒ N M = 1-b = 7- 4 4$

Достроим трапецию $F ABC$ до треугольника $F W C$ – он правильный. $7 7 ⇒ RM = -F C = -a = 7 8 4$
Из подобия $3 3 3 △ SP K ∼ △SED ⇒ P K = -ED = --a = -- 8 8 2$

Найдем $KN$ из грани $SCD$ :
По теореме косинусов $2b2 − a2 cos∠S = -----2-- 2b$ .

В $△ KSN$ : $3- 3- KN = 8b,SN = 4b ⇒$ по теореме косинусов $2 -9- 2 2 27- KN = 64 ⋅ (b + 2a ) ⇒ KN = 8$

Обозначим высоту трапеции $M N T R$ за $h1$ . Тогда $∘ -------- 49- 1- 3-√ -- h1 = 16 − 4 = 4 5$

Высота трапеции $N KP T$ $h = ∘ -272−--81-= 9√5-- 1 64 16 8$

Тогда площадь сечения $( ) √-- √-- √ -- S = 1-⋅ 3-+ 6 ⋅ 9 5 + 1⋅ (6 + 7) ⋅ 3 5 = 291--5- 2 2 8 2 4 32$