Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Дан правильный тетраэдр $SABC,$ $H$ — такая точка на высоте $SO,$ что $OH :HS = 1:3.$ Плоскость $α$ проходит через точки $A$ и $H$ параллельно медиане $BM$ треугольника $ABC$ и пересекает ребро $CS$ в точке $P.$

а) Докажите, что $CP :PS = 2:3.$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $(ABC ).$

а)

$PIC$

Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно $a.$

Так как пирамида правильная, то высота $SO$ падает в точку пересечения медиан $△ ABC.$ Рассмотрим плоскость $(BSM ),$ точка $H$ лежит в этой плоскости. Так как плоскость $α$ параллельна $BM,$ то она пересекает плоскость $(BSM )$ по прямой, параллельной $BM.$

Проведем $RT ∥ BM,$ $H ∈ RT.$ Тогда по теореме Фалеса

SH ST 3 HO-= T-M-= 1.

Прямая $AT$ пересечет $CS$ в точке $P.$ $△ AP R$ — сечение пирамиды плоскостью $α.$

Напишем теорему Менелая для $△CSM$ и прямой $AP :$

CP- ⋅ ST-⋅ MA-=1 P S TM AC

Из этого равенства находим, что $CP- = 2. PS 3$

б) Докажем, что линия пересечения плоскостей $α$ и $(ABC )$ параллельна прямой $BM.$ Пусть это не так: пусть $l$ — линия пересечения $α$ и $(ABC )$ и $l∩ BM =Z.$ Тога прямая $BM ∩α = Z,$ следовательно, не может быть параллельна $α.$ Получили противоречие, следовательно, $l ∥BM.$ Заметим, что прямая $l$ проходит через точку $A.$

Построим линейный угол двугранного угла между $α$ и $(ABC ).$ Так как $HO ⊥ ABC,$ проведем $OK ⊥ l,$ следовательно, по теореме о трех перпендикулярах $HK ⊥l.$ Таким образом, $∠HKO$ — искомый угол.