Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCA1B1C1$ — прямая треугольная призма, $AB = 16, BC = 15, AA1 = 8$ , $cos∠ABC = 0,8$ . $M, N$ – середины ребер $AC$ и $B1C1$ соответственно. $K, P$ – такие точки на ребрах $BC$ и $B1C1$ соответственно, что $1- CK = B1P = 6BC$ .

а) Построить сечение призмы плоскостью $α$ , параллельной прямой $M N$ и проходящей через точки $K$ и $P$ .

б) Найти площадь сечения призмы плоскостью $α$ .

а) $PIC$

Если прямая $M N ∥ α ⇒ M N$ параллельна некоторой прямой, лежащей в $α$ . Проведем $N S ⊥ BC, N S ∩ KP = O$ . В плоскости $M N S$ проведем $OH ∥ M N ⇒ M H = HS$ . Тогда прямая $KH ∩ AB = T$ . Так как плоскости $ABC$ и $A1B1C1$ параллельны, то $α$ пересечет плоскость $A1B1C1$ по прямой, параллельной $KT$ . Следовательно, проведем $P R ∥ KT$ . Таким образом, $TRP K$ – искомое сечение (трапеция).

б) Заметим, что $1 5 CK = --⋅ 15 =--⇒ KS = 5 6 2$ . Т.к. $M S$ – средняя линия треугольника $ABC ⇒ M S = 8 ⇒ HS = 4$ . Так как $∠HSK = ∠ABC$ , то по теореме косинусов $∘ -------------------- HK = 16 + 25 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 45 = 3$ . Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник $HKS$ – прямоугольный, следовательно, $∠H = 90 ∘$ . Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах, из того, что $N S ⊥ (ABC ),HS ⊥ KT ⇒ OH ⊥ KT$ .

Проведем $P H1 ⊥ KT$ . Из подобия треугольников $HOK$ и $H1P K$ следует, что $P H1 = 2OH$ . Т.к. $1- √ -- OS = 2N S = 4,HS = 4 ⇒ OH = 4 2$ . Таким образом найдена высота трапеции $√ -- P H1 = 8 2$ .

$PIC$