Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA1B1C1$ является прямоугольный треугольник $ABC,$ причем $∠C =90∘.$ Диагонали боковых граней $AA1B1B$ и $BB1C1C$ равны 26 и 10 соответственно, $AB = 25.$

а) Докажите, что $△BA1C1$ — прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $AA1C1B.$

а) Так как $BB1 ⊥(A1B1C1),$ $B1C1 ⊥ A1C1,$ то по теореме о трех перпендикулярах $BC1 ⊥ A1C1.$ Следовательно, $△A1C1B$ — прямоугольный.

$PIC$

б) Заметим, что $BC ⊥AC$ и $BC ⊥ CC1,$ следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC ⊥(AA1C1 ).$ Следовательно, $BC$ — высота пирамиды $BAA1C1$ с основанием $AA1C1.$

Так как $△AA1C1$ — прямоугольный, то

12 ⋅AA1-⋅A1C1⋅BC- VBAA1C1 = 3

По теореме Пифагора имеем:

∘ -------- √----- A1C1 = 262− 102 = 16⋅36= 24 ∘--2----2 √---- √-- AA1 = 26 − 25 = 1 ⋅51 = 51 BC = ∘102-− 51-=√49-= 7

Тогда искомый объем равен

1⋅24⋅√51⋅7 √-- VBAA1C1 =-2---3----- = 28 51

$PIC$

Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма