Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №4

Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA1B1C1D1,$ сторона основания которой равна 4, а боковые ребра равны 5. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $A1B1$ и $B1C1$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точки $D,$ $M$ и $N.$

а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $AA1$ призмы в отношении $2 :1,$ считая от точки $A.$

б) Найдите угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(ABC ).$

а) Из условия следует, что призма прямая и основания являются квадратами.

Так как $MN$ — средняя линия в $△ A1B1C1,$ то $MN ∥A1C1.$ Тогда плоскость $(DMN )$ пересечет плоскость $(A1C1C)$ по прямой $l,$ параллельной прямой $A1C1.$ В противном случае прямая $A1C1$ и плоскость сечения имеют общие точки, но это невозможно, поскольку прямая $A1C1$ параллельна прямой $MN$ плоскости $(DMN )$ , а значит параллельна и самой плоскости сечения.

Таким образом, найдем точку, в которой плоскость $(DMN )$ пересекает плоскость $(A1C1C).$

$PIC$

Пусть плоскость $(B1D1D )$ пересекает $MN$ в точке $T.$ Тогда $DT ∈ (DMN ).$ Если $O$ и $O1$ — точки пересечения диагоналей оснований, то прямые $DT$ и $OO1$ лежат в плоскости $(B1D1D ).$ Пусть $K$ — точка их пересечения. Тогда $K$ — искомая точка пересечения плоскости $(DMN )$ и плоскости $(A1C1CA ).$

Проведем через точку $K$ прямую $l$ параллельно $A1C1.$ Пусть она пересекла прямую $AA1$ в точке $P,$ прямую $CC1$ в точке $L.$ Таким образом, получили сечение $DP MNL$ призмы плоскостью $(DMN ).$

$PIC$

Так как $MN$ — средняя линия треугольника $A1B1C1,$ то она пересекает $B1O1$ в её середине, то есть $T$ — середина $B1O1.$ Значит,

2TO1 =B1O1 = DO.

В плоскости $(B1D1D )$ рассмотрим треугольники $KO1T$ и $KOD.$ В них $∠O1KT = ∠OKD$ как вертикальные и $∠T O1K = 90∘ = ∠DOK.$ Значит, $△ KO1T ∼ △KOD.$ Запишем отношение их подобия:

O1K- = TO1-= 1. OK DO 2

С другой стороны, так как $P L∥ A1C1,$

-AP- KO-- 2 P A1 = K1 = 1.

б) Так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой, то общая прямая плоскости сечения и нижнего основания призмы параллельна $MN,$ а значит, параллельна $A C 1 1$ и параллельна $AC.$ Найдем две прямые, перпендикулярные $AC,$ и построим соответствующий линейный угол.

Заметим, что $KO ⊥ (ABC ),$ следовательно, так как $OD ⊥ AC,$ то и $KD ⊥ AC$ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, $∠KDO$ равен углу между плоскостями $(DMN )$ и $(ABC ).$