Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ . Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $α$ . Пирамида не является правильной.

а) Докажите, что высота пирамиды падает в центр вневписанной для треугольника $ABC$ окружности.

б) Найдите объем пирамиды, если $α = 30∘$ , а сторона основания равна $6$ .

а) Пусть $SO$ – высота пирамиды. Проведем перпендикуляры $OA1, OB1, OC1$ к прямым $BC, AC, AB$ соответственно. По теореме о трех перпендикулярах наклонные $SA1, SB1, SC1$ также будут перпендикулярны этим прямым. Следовательно, по определению $∠SA1O, ∠SB1O, ∠SC1O$ — линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием. Т.к. эти углы равны, то $△SA1O = △SB1O = △SC1O$ по катету и острому углу ( $SO$ – общий катет).

$PIC$

Таким образом, $OA1 = OB1 = OC1$ . Таким образом, тока $O$ равноудалена от прямых $AB, AC, BC$ . Значит, это либо центр вписанной в $△ABC$ окружности, либо центр вневписанной окружности (касающейся стороны и продолжений двух других сторон). Т.к. пирамида не является правильной, то первый вариант не подходит, чтд.

б) Обозначим $AB = 6 = 2x$ . Пусть для определенности $O$ – центр окружности, касающейся стороны $AC$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ . Тогда $O$ лежит на биссектрисе угла $B$ . Следовательно, $BO$ – биссектриса, а т.к. $△ABC$ – правильный, то $BO ⊥ AC$ . Следовательно, точка $B 1$ лежит на биссектрисе $BO$ .

Значит, $B1C = x$ . Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то $A1C = B1C = x$ . Следовательно, $BA1 = 3x$ . К тому же $∠OBA1 = 30∘$ (как половина $∠B = 60∘$ ). Значит,

BA1 √-- ctg30∘ = ----- ⇒ OA1 = 3x OA1

Следовательно, $√ -- OB1 = OA1 = 3x$ . Из прямоугольного $△SOB1$

ctgα = ctg30∘ = OB1-- ⇒ SO = x = 3 SO

Таким образом, объем пирамиды равен

√ -- V = 1-⋅ S ⋅ SO = 1⋅ --3-⋅ 62 ⋅ 3 = 9√3. SABC 3 ABC 3 4