Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №21

Просмотров 26 Комментарии 0

Точки $M$ и $N$ — середины ребер соответственно $AA1$ и $AB$ треугольной призмы $ABCA1B1C1.$

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M,$ $N$ и $C1.$

б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $BC?$

Обозначим плоскость сечения через $α.$

Все точки прямой $MC1$ принадлежат $α,$ при этом $MC1 ⊂ (AA1C1C).$ Тогда $X1 = MC1 ∩AC$ принадлежит $α.$

Все точки прямой $X1N$ принадлежат $α,$ при этом $X1N ⊂ (ABC ).$ Тогда $X2 = X1N ∩BC$ принадлежит $α.$

Тогда $NMC1X2$ — искомое сечение.

$PIC$

б) Так как $A1M = MA,$ то $△ A1C1M = △AX1M$ по стороне и прилежащим к ней углам. Тогда $X1A = A1C1 = AC.$

Запишем теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $X1X2,$ учитывая, что $CX1 :X1A = 2:1$ и $AN = NB :$

AN-- BX2- CX1- BX2- BX2- 1 NB ⋅X2C ⋅X1A = 1⋅X2C ⋅2 ⇒ X2C = 2

Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма