В треугольной пирамиде 
двугранные углы при ребрах 
и 
равны. Известно также, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при ребрах 
и 
равны 
а) Рассмотрим пирамиду 
В ней по условию 
Так как 
и 
— равнобедренные, причем 
— общее основание, то высоты к основаниями попадут в одну точку — в середину 
стороны 
Тогда 
Таким образом, 
— линейный угол двугранного угла 
Аналогичным образом строится угол 
— линейный угол двугранного угла 
где 
— середина 
Таким образом, 
Так как 
по трем сторонам, то 
Аналогично 
Значит, 
и 
— равнобедренные и подобные по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Заметим, что плоскости 
и 
имеют две общие точки — это точки 
и 
Следовательно, они пересекаются по прямой 
Отрезок 
— это высота в 
и 
к основаниям 
и 
соответственно. Следовательно, эти треугольники равны. Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
б)
Из пункта а) также следует, что 
Так как двугранные углы равны 
то 
и 
— равносторонние.
Пусть 
Проведем высоту пирамиды 
Так как 
то по теореме о трех перпендикулярах 
Таким образом, точка 
должна лежать на 
причем на середине, так как 
— равносторонний. Тогда
Найдем по теореме Пифагора 
из 
Таким образом,
