Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №19

Просмотров 7 Комментарии 0

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD,$ причем $AM :MB = 1:2.$

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD.$

б) Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD.$

а) Обозначим плоскость сечения через $α.$

Все точки прямой $ML$ принадлежат плоскости $α,$ при этом $ML ⊂(ABC ).$ Тогда $X1 = AC ∩ ML$ принадлежит плоскости $α.$

Все точки прямой $X1K$ принадлежат плоскости $α,$ при этом $X1K ⊂ (ADC ).$ Тогда $X2 = DC ∩ X1K$ принадлежит плоскости $α.$

Искомое сечение $MKX2L.$

$PIC$

б) Запишем теорему Менелая для треугольника $ADC$ и прямой $X1X2,$ учитывая, что $DK = KA :$

1= CX2- ⋅ DK-⋅ AX1-= CX2-⋅ AX1 X2D KA X1C X2D X1C

Запишем теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $X L, 1$ учитывая, что $BM :MA =2 :1$ и $CL = LB :$

CL- BM-- AX1- AX1- 1= LB ⋅MA ⋅X1C = 2⋅X1C

Поделив первое на второе, получим

$pict$

Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма