Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №17

Просмотров 9 Комментарии 0

$SABCD$ – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ , а две боковые грани $SAB$ и $SAD$ представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом $∠A$ .

1) Проведите плоскость $α$ через точку пересечения диагоналей основания параллельно грани $SBC$ .

2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $α$ , если $SA = AB = a$ .

1) Пусть $AC ∩ BD = O$ . Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

$PIC$

Заметим, что т.к. $∠SAB = ∠SAD = 90 ∘ ⇒ SA ⊥ (ABC )$ .

Проведем в плоскости $SAC$ прямую $OK ∥ SC$ . Т.к. $O$ – середина $AC$ , то по теореме Фалеса $K$ – середина $SA$ . Через точку $K$ в плоскости $SAB$ проведем $KM ∥ SB$ (следовательно, $M$ – середина $AB$ ). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые $OK$ и $KM$ , и будет искомой плоскостью.

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки $O$ и $M$ , получим прямую $M N$ .

Т.к. $α ∥ (SBC )$ ,то $α$ пересечет плоскость $SCD$ по прямой $N P ∥ SC$ (если $N P ∩ SC ⁄= ∅$ , то $α ∩ (SBC ) ⁄= ∅$ , что невозможно ввиду их параллельности).