Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №16

Просмотров 7 Комментарии 0

$ABCD$ – правильный тетраэдр с ребром $24$ . $M, N, K$ – такие точки на ребрах $AB, AD, CD$ соответственно, что $DN = 2N A = CK = BM$ .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $M N K$ .

б) Найдите площадь сечения тетрадра плоскостью $M N K$ .

а) По условию $ABCD$ представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны $24$ . Построим сечение пирамиды плоскостью $M N K$ . Продлим прямую $N K$ до пересечения с прямой $AC$ – получим точку $Q$ . Соединив точки $Q$ и $M$ , получим линию пересечения основания – отрезок $M T$ . Таким образом, сечением является четырехугольник $M N KT$ .

$PIC$

б) По теореме Менелая для $△ADC$ и прямой $QK$ имеем:

$AN-- ⋅ DK- ⋅ CQ-= 1 ⇒ QA = 8 N D KC QA$

По условию $AM = 13AB = 8$ . Т.к. $QA = AM$ и $∠CAB = 60∘ ⇒ ∠AQM = 30∘$ . Следовательно, $∠BM T = 30∘$ , тогда $∠M T B = 90∘$ . Следовательно, $BT = 8$ . Заметим, что $△N DK = △M BT$ по углу и двум прилежащим сторонам, следовательно, $M T = N K$ . Также заметим, что так как $BT = DK = 8$ , то $TK ∥ DB$ . Также и $M N ∥ DB$ . Следовательно, $M N KT$ – равнобедренная трапеция.

Основания $M N = 8$ , $KT = 16$ , по теореме Пифагора $√ -------- √ -- M T = 162 − 82 = 8 3$ . Следовательно, если провести высоту $M H$ , то $T H = 0,5(16 − 8) = 4$ . Тогда по теореме Пифагора $∘ --√--------- √ --- M H = (8 3)2 − 42 = 4 11$ . Следовательно,

8-+-16- √ --- √ --- SMNKT = 2 ⋅ 4 11 = 48 11