Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №15

Просмотров 6 Комментарии 0

Ребра $DA, DB, DC$ пирамиды $ABCD$ попарно перпендикулярны. $√ -- AB = AC = BC = 7 2$ .

а) Докажите, что пирамида правильная.

б) Найдите площадь сечения $BM N$ , если точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $DA$ и $DC$ соответственно, причем $DM : M A = DN : N C = 4 : 3$ .

а) Для того, чтобы доказать, что пирамида является правильной, нужно доказать, что в основании пирамиды находится правильный многоугольник, а боковые ребра равны.
$PIC$
Возьмем за основание $△ABC$ – он правильный по условию.
Осталось доказать, что $DA = DC = DB$ .
Рассмотрим $△ADB$ и $△CDB$ . Они прямоугольные и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, $DA = DC$ . Аналогично рассматривая другие боковые грани, доказываем, что $DA = DB$ . Следовательно, $DA = DB = DC$ , чтд.

б) Заметим, что так как $DM : M A = DN : N C = 4 : 3$ и боковые грани – равные треугольники, то $BM = BN$ . $PIC$
Так как $DM : M A = DN : N C = 4 : 3$ , то по теореме Фалеса $M N ∥ AC$ , также $△DM N ∼ △DAC$ .
Из подобия следует:

M N DM 4 4 √ -- -----= -----= -- → M N = -AC = 4 2 AC DA 7 7

Найдем $BM$ .
Так как $△ADB$ прямоугольный и равнобедренный, то $√ -- DA = DB = AB : 2$ , следовательно, $DA = 7$ .
Рассмотрим прямоугольный $△DM B$ . Так как $4 DM = 7DA = 4$ , то $√ -2---2- √ --- BM = 4 + 7 = 65$ .
Рассмотрим теперь $△BM N$ : $PIC$
Так как он равнобедренный, то высота $BH$ , проведенная к основанию, будет также и медианой. Следовательно,

√ ------- √ --- BH = 65 − 8 = 57

Таким образом,

1 √ ---- S△BMN = --⋅ BH ⋅ M N = 2 114 2