Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №14

а) Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения диагоналей квадрата Тогда отрезок пройдет через точку причем Построим сечение пирамиды плоскостью

Плоскости и пересекаются по прямой плоскости и — по прямой Так как то плоскости и пересекутся по прямой

Действительно, если это не так, то есть то — это общая точка плоскости и плоскости следовательно, Но следовательно, что невозможно, так как

Таким образом, — трапеция.

Так как то по теореме Фалеса

Так как пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, Также и все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, то есть, например, Следовательно, откуда

Значит, — равнобедренная трапеция.

б) Нужно найти отношение Пусть То есть нужно найти

Введем обозначения: Тогда

Найдем Тогда

В пирамиде — вершина, — основание. Для того, чтобы найти ее объем, нужно найти высоту

Пусть — середина Так как — середина и трапеция равнобедренная, то то есть — высота трапеции.

Утверждение: точка лежит на прямой

Действительно, пусть проведена Тогда, так как (наклонная), то по теореме о трех перпендикулярах (проекция). Так как к одной прямой в плоскости не может быть проведено два различных перпендикуляра и следовательно,

Прямая пересечет в точке — середине так как — середина и Тогда

с коэффициентом следовательно,

Рассмотрим плоскость и трапецию

Из Так как то следовательно,

Тогда по теореме косинусов из

Заметим, что

По теореме синусов из

Тогда из прямоугольного

Таким образом,

Тогда

Также

Следовательно,