Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №12

Просмотров 11 Комментарии 0

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ на медиане основания $CE$ взята точка $K$ так, что $CK :KE = 8:1.$ Через точку $K$ проведена плоскость $α,$ которая перпендикулярна прямой $CE$ и пересекает боковые ребра $SA$ и $SB$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $MN :AB = 2:3.$

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка $C,$ а основанием — сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $α,$ если известно, что $AB = 9√3,$ $SA = 18.$

а) Пусть $SO$ — высота пирамиды, $O$ — точка пересечения медиан. Следовательно,

CO- 2 OE = 1

Так как по условию $CK :KE = 8:1,$ то можно обозначить $CK =8x,$ $KE = x.$ Тогда $CE =9x.$ Следовательно, $CO = 2CE = 6x, 3$ $OE =3x,$ $OK = 2x.$

Так как $CE$ перпендикулярна плоскости $α,$ то нужно построить две пересекающиеся прямые в плоскости $α,$ которым $CE$ будет перпендикулярна.

Первая прямая: так как $CE ⊥ AB,$ то проведем через точку $K$ прямую $P L∥ AB.$ Тогда $CE ⊥ P L$ $(P ∈ AC, L ∈ BC ).$

Вторая прямая: так как $SO ⊥ (ABC ),$ то $SO ⊥ CE.$ Следовательно, проведем $KK ′ ∥ SO,$ тогда $KK ′ ⊥ CE$ $(K ′ ∈SE ).$

Следовательно, $α$ проходит через точки $P,$ $L,$ $′ K .$

$PIC$

Заметим, что $α$ пересечет плоскость $(ASB )$ по прямой, параллельной $AB$ (в противном случае $α$ будет иметь общую точку с $AB,$ что невозможно, так как $AB ∥ PL ⇒ AB ∥α).$