Дана правильная четырехугольная пирамида 
с вершиной 
стороны основания которой равны 
а боковые ребра равны 21.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку 
и середину ребра 
параллельно прямой 
б) Найдите площадь построенного сечения.
а) Пусть 
— середина ребра 
— высота пирамиды (падает в точку пересечения диагоналей основания).
Необходимо построить прямую, лежащую в плоскости сечения и параллельную 
Рассмотрим плоскость 
Прямая 
пересекает 
в точке 
Теперь рассмотрим 
Проведем в этой плоскости через точку 
прямую, параллельную 
Пусть она пересечет ребра 
и 
в точках 
и 
соответственно. Таким образом, 
— искомое сечение.
б) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах (так как 
) 
Так как 
то 
следовательно, 
Следовательно, у четырехугольника 
диагонали взаимно перпендикулярны. Значит, его площадь можно найти как
Заметим сразу, что
Рассмотрим плоскость 
По теореме Менелая:
(это нам понадобится позже для поиска 
)
Проведем 
Тогда из подобия 
и 
— середина 
следовательно,
Тогда по теореме Пифагора
Рассмотрим 
Так как 
то
Следовательно, площадь сечения равна
