Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №10

В основании пирамиды $SABCD$ лежит ромб $ABCD$ , сторона которого равна $8$ , а угол при вершине $A$ равен $60∘$ . Известно, что $SA = 15$ , $√ --- SC = 33$ , и, кроме того, что $SB = SD$ .

а) Докажите, что $SC$ – высота пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью $ASC$ и ребром $SB$ .

а) Рассмотрим основание $ABCD$ . Так как $∠A = 60 ∘$ , то $△BCD$ равносторонний, следовательно, $BD = BC = 8$ . Тогда $BO = 4$ , где $O$ – точка пересечения диагоналей ромба. Тогда по теореме Пифагора $-- OC = 4√ 3$ , следовательно, $-- AC = 8√ 3$ .
По обратной теореме Пифагора, так как $2 2 2 AS = AC + SC$ , треугольник $ASC$ является прямоугольным с прямым углом $SCA$ . Следовательно, $SC ⊥ AC$ .
Заметим, что $△SCD = △SCB$ по трем сторонам. Следовательно, $∠SCD = ∠SCB$ .
Предположим, что $SC$ – не высота пирамиды. Тогда опустим высоту $SH$ . Проведем $HD ′ ⊥ CD$ и $HB ′ ⊥ CB$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $SD ′ ⊥ CD$ и $SB ′ ⊥ CB$ .
Прямоугольные треугольники $′ SCD$ и $′ SCB$ равны по общему катету $SC$ и острому углу, следовательно, $′ ′ SD = SB$ . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники $′ SHD$ и $′ SHB$ также равны по катету и гипотенузе, следовательно, $HD ′ = HB ′$ . Следовательно, точка $H$ равноудалена от сторон угла $C$ , значит, лежит на его биссектрисе.
Таким образом, мы доказали, что основание высоты, проведенной из точки $S$ , будет лежать на прямой, содержащей биссектрису угла $C$ (то есть на прямой $AC$ ).
Но тогда из точки $S$ проведены две прямые $SH$ и $SC$ , перпендикулярные $AC$ , что невозможно. Следовательно, точки $H$ и $C$ совпадают.

$PIC$

б) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что $BO ⊥ AC$ как диагонали ромба, и $BO ⊥ SC$ , так как $SC$ – высота пирамиды. Следовательно, $BO ⊥ (ASC )$ . Значит, $SO$ – проекция $SB$ на плоскость $ASC$ . Таким образом, нужно найти угол $BSO$ . Обозначим его за $α$ .

$PIC$

По теореме Пифагора из $△SCO$ :