Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма» №1

Просмотров 8 Комментарии 0

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA1B1C1D1$ .
$M$ – точка пересечения диагоналей грани $AA1B1B$ , $N$ – точка пересечения диагоналей грани $BB1C1C$ , а $K$ – середина ребра $CD$ .

а) Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью $M N K$ — пятиугольник.

б) Найти отношение длин отрезков, на которые делит плоскость $M N K$ ребро $BB1$ , если $√-- 2 AB = BC = ---AA1 2$ .

а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью $M N K$ .
Т.к. $M N ∥ (ABC ),M N ⊂ (M N K ) ⇒$ плоскость $M N K$ пересечет плоскость $ABC$ по прямой, параллельной $M N$ (пусть $KT$ — линия пересечения плоскостей $M N K$ и $ABC$ ; если $KT ∩ M N ⁄= ∅ ⇒ M N ∩ (ABC ) ⁄= ∅ ⇒ M N$ не может быть параллельна $(ABC )$ ).

$PIC$

Пусть $T$ лежит на $AD$ , значит, $T$ – середина $AD$ .
Рассмотрим сечение $BB1D1D$ . Эта плоскость пересекает $M N$ и $KT$ в их серединах. Пусть $O$ – середина $M N$ , $Q$ – середина $KT$ . Прямая $OQ$ пересекает ребро $BB1$ в точке $P$ . Прямая $P M ∩ AA1 = R, P N ∩ CC1 = S$ , таким образом, $PSKT R$ – искомое сечение.

б) Без ограничения общности можно считать, что $√ -- AB = BC = 1,AA1 = 2$ . Таким образом, $√ -- BD = 2 = BB1$ .

$PIC$

$QD = 1BD 4$ . Точка $O$ лежит на отрезке $LL1$ , где $L$ – середина $BB1$ , $L1$ – середина $DD1$ . Найдем $LO$ .
$M L ⊥ BB1C1C ⇒ M L ⊥ LN ⇒ M LN$ – прямоугольный треугольник, причем $√ -- 1 1 2 M L = LN = -, M N = -AC = ---- 2 2 2$ .