Окружность касается стороны 
остроугольного треугольника 
и делит каждый каждую из сторон 
и 
на три равные части.
а) Докажите, что 
равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении, считая от вершины 
, высота этого треугольника делит сторону 
.
(Задача от подписчиков.)
а) Пусть 
– точки пересечения окружности со стороной 
, 
– со стороной 
. Пусть 
, 
.
Т.к. для двух секущих 
и 
, проведенных из одной точки, выполнено: 
, то
, то есть 
равнобедренный.
б) Т.к. квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то
и 
.Пусть
– высота. Тогда из прямоугольных 
и 
: 
, то имеем: 
.Следовательно,
, 
, откуда 
.