Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

На стороне $M N$ треугольника $M N P$ отметили точки $Q$ , $R$ и $S$ так, что $∠M P Q = ∠QP R = ∠RP S = ∠SP N$ .

а) Докажите, что если $S△NP R = S △RP M$ , то $S △PRS ⁄= S△NP S$ .

б) Найдите $P S ---- QP$ , если $M P = a$ , $N P = b$ , $RP = c$ .

а) Так как у треугольников $N PR$ и $RP M$ общая высота к основаниям $N R$ и $RM$ соответственно, то их площади относятся как их основания, то есть из $S△NP R = S △RP M$ следует равенство $N R = RM$ .

$PIC$

Тогда $P R$ – медиана в треугольнике $M N P$ , которая является биссектрисой, откуда $M P = N P$ и $P R$ – высота.

Аналогично из равенства $S △PRS$ и $S△NP S$ следовало бы, что $RP = N P$ , но $RP ⊥ M N$ , а $N P$ не совпадает с $RP$ , следовательно, $N P > RP » class=»math» width=»auto»> и <img decoding=$ .

б)

Первый способ.

$PIC$

Обозначим $∠SP N = α$ , тогда

S△P NR = 0,5 ⋅ bc ⋅ sin2α.

С другой стороны,

S△P NR = S△P NS + S △PSR = 0,5 ⋅ b ⋅ SP ⋅ sinα + 0, 5 ⋅ c ⋅ SP ⋅ sin α,

тогда

$0,5 ⋅ bc ⋅ sin2α = 0,5 ⋅ b ⋅ SP ⋅ sinα + 0, 5 ⋅ c ⋅ SP ⋅ sin α ⇔ 0,5 ⋅ 2 cosα sinα ⋅ bc = 0,5 sin α ⋅ SP (b + c) ⇔$

$⇔ 2 cosα ⋅ bc = SP (b + c) ⇔ SP = 2bc-⋅ cos-α. b + c$
так как $a + c ⁄= 0$ .

На самом деле здесь мы не ограничивая общности (т.е. к произвольному треугольнику можно применить те же рассуждения) выразили биссектрису треугольника через половину угла, из которого она выходит, и через стороны, заключающие этот угол.

Тогда аналогично $2ac ⋅ cosα P Q = ---------- a + c$ , откуда