Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Стороны $KN$ и $LM$ трапеции $KLMN$ параллельны, прямые $LM$ и $MN$ – касательные к окружности, описанной около треугольника $KLN.$

а) Докажите, что треугольники $LMN$ и $KLN$ подобны.

б) Найдите площадь треугольника $KLN,$ если известно, что $KN = 6,$ а $∘ ∠LMN = 120.$

а) Пусть $O$ – центр окружности, описанной около $△KLN$ . Так как $LM$ – касательная к окружности, проходящей через точку $L$ , то $LM ⊥OL$ , следовательно, $OL ⊥ KN$ . Опустим из точки $O$ на $KN$ перпендикуляр $OP$ .

Так как центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения его серединных перпендикуляров, то $P$ – середина $KN$ .

Точки $P$ , $O$ и $L$ лежат на одной прямой: в самом деле, $LO ⊥ KN ⊥ OP$ , тогда прямые, содержащие $LO$ и $OP$ либо параллельны, либо совпадают, но они проходят через общую точку $O$ .

Таким образом, $L$ лежит на серединном перпендикуляре к $KN$ , следовательно, $L$ равноудалена от концов отрезка $KN$ и треугольник $KLN$ – равнобедренный ( $KL =LN$ ). Кроме того, $∠KLO = ∠OLN$ .

$PIC$

Аналогично, $ON ⊥MN$ . Так как сумма углов четырёхугольника равна $360∘$ , то $∠LON +∠LMN = 180∘$ , причём

∘ ∘ ∘ ∠LON = 180 − ∠OLN − ∠ONL = 180 − 2∠OLN = 180 − ∠KLN,

откуда следует, что $∠LMN =∠KLN$ .

Кроме того, $∠LNK =∠NLM$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $KN$ , $LM$ и секущей $LN$ . В итоге, два угла треугольника $LMN$ соответственно равны двум углам треугольника $KLN$ , следовательно, они подобны.

Замечание. Формально в рамках пункта а) треугольник $KLN$ может быть и остроугольным, а на рисунке он тупоугольный, однако, все рассуждения, приведённые выше, будут справедливы и для случая остроугольного треугольника $KLN$ .

б) $∠KLN = ∠LMN =120∘$ , тогда $∠LKN = ∠LNK = 30∘$ .

1 √ - LP =KP ⋅tg30∘ = 3⋅√3-= 3.

В итоге

1 √ - √- S△KLN = 2 ⋅KN ⋅LP =3 ⋅ 3= 3 3.