Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №68

Просмотров 6 Комментарии 0

Биссектриса угла $ADC$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямую $AB$ в точке $E.$ В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T.$

а) Докажите, что прямые $KT$ и $DE$ параллельны.

б) Найдите угол $BAD,$ если известно, что $AD = 6$ и $KT = 3.$

Заметим, что неважно, лежит точка $E$ на отрезке $AB$ или на его продолжении, положение точек $B$ и $C$ вообще не используется.

а) По условию $DE$ — биссектриса угла $ADC,$ тогда $∠CDE = ∠EDA.$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

AB ∥ CD ⇒ ∠AED = ∠CDE ⇒ ∠AED = ∠EDA

Значит, треугольник $AED$ — равнобедренный.

$PIC$

Также $AK = AT$ как отрезки касательных к окружности из точки $A,$ значит, $△ AKT ∼ △AED$ как равнобедренные с общим углом при вершине $A.$ Тогда $∠AKT = ∠AED,$ следолвательно, $KT ∥ED.$

б) Пусть $F$ — точка касания вписанной окружности со стороной $ED.$

Обозначим $T D = a,$ тогда $AT = 6− a.$

По пункту а) треугольники $AKT$ и $AED$ равнобедренные, поэтому

AK = AT = 6 − a, KE = TD = a

Кроме того, как отрезки касательных из точек $D$ и $E$ соотвественно, равны отрезки

T D = FD = a, KE =F E = a

$PIC$

Из подобия треугольников $AKT$ и $AED$ следует, что

$pict$

Тогда $△ AED$ — равносторонний и $∘ ∠DAE = ∠DAB = 60 .$

Задачи формата ЕГЭ