Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №67

Просмотров 7 Комментарии 0

Медианы $AA1$ , $BB1$ и $CC1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ . Точки $A2$ , $B2$ и $C2$ — середины отрезков $M A$ , $M B$ и $M C$ соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A B C A B C 1 2 1 2 1 2$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$ .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что $AB = 5$ , $BC = 8$ и $AC = 10$ .

(МИОО 2013)

а) Рассмотрим треугольник $M C1A$ . Отрезок $C1A2$ — его медиана $⇒ SAC1A2 = SMC1A2$ , причем один из этих двух треугольников входит в шестиугольник. Проведя аналогичные рассуждения для треугольников $M C1B$ , $M A1B$ , $M A C 1$ , $M B C 1$ и $M B A 1$ , получим, что площадь шестиугольника $A B C A B C 1 2 1 2 1 2$ равна половине площади треугольника $ABC$ .

$PIC$

б) Известно, что каждая медиана делится точкой $M$ пересечения медиан в отношении $2 : 1$ , считая от вершины. Точки $A2$ , $B2$ и $C2$ — середины отрезков от соответствующих вершин треугольника до точки $M$ , тогда медианы будут разбиты на три равные части.

Рассмотрим треугольник $ABM$ . Точка $C1$ — середина $AB$ , точка $A2$ — середина $AM ⇒ C1A2$ — средняя линия в треугольнике $ABM ⇒ C1A2 = 1BM ⇒ C1A2 = 1BB1 2 3$ . По аналогичным соображениям каждая из сторон шестиугольника равна трети медианы, которой она параллельна.