Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №65

Просмотров 12 Комментарии 0

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$ . Прямая, проходящая через точку $P$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую — в точке $D$ . Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $B$ , а вторую — в точке $C$ .

а) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP : PC$ , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

(МИОО 2014)

а) $QP DC$ — вписанный $⇒ ∠DCQ + ∠QP D = 180∘ ⇒ ∠AP Q = ∠DCQ$ .

$AP QB$ — вписанный $⇒ ∠AP Q + ∠QBA = 180∘ ⇒ ∠AP Q = ∠ABE$ .

$∠ABE = ∠DCE ⇒ AB ∥ DC$ . С учетом того, что по условию $AD ∥ BC,$ получаем, что $ABCD$ — параллелограмм по определению.

$PIC$

б) $AP QB$ — вписанный $∘ ⇒ ∠BAP + ∠PQB = 180 ⇒ ∠BAP = ∠CQP$ . $∠BO1P = 2∠BAP$ , $∠CO2P = 2∠CQP$ как центральные опирающиеся на те же дуги, тогда $∠BO1P = ∠CO2P ⇒ △BO1P ∼ △CO2P$ с коэффициентом, равным отношению радиусов. Значит $BP : PC = 2 : 1$ .

$PIC$

NB В задаче возможны другие расположения точек, несложно увидеть, что решение для них практически не изменится.

$PIC$