Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №64

Просмотров 7 Комментарии 0

На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили высоту $CH.$ Из точки $H$ на катеты опустили перпендикуляры $HK$ и $HE.$

а) Докажите, что точки $A,$ $B,$ $K$ и $E$ лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если $AB = 12,$ $CH = 5.$

а) Очевидно, что $EHKC$ — прямоугольник, тогда $∠KCH = ∠EKC =α.$

В треугольнике $CHB :$

∠HBC = 90∘− ∠BCH = 90∘ − α.

В треугольнике $EKC :$

∘ ∘ ∠CEK = 90 − ∠EKC = 90 − α = ∠HBK.

Видим, что

∘ ∘ ∠KEA = 180 − ∠CEK = 90 + α

Тогда в четырехугольнике $ABKE$ сумма противоположных углов равна

∘ ∘ 180 (∠KEA +∠ABK = 180 )

Значит, $ABKE$ — вписанный четырехугольник.

$PIC$

б) Отметим на продолжении прямой $EH$ за точку $H$ точку $′ C$ такую, что $′ CB = HC .$ В полученном четырехугольнике $CHC ′B$ сторона $CB$ параллельна и равна $HC ′,$ следовательно, $CHC ′B$ — параллелограмм, значит, $CH = BC ′ = 5,$ $∠CHB = ∠C ′BH = 90∘,$ $∠BCH = ∠HC ′B = α.$

Видим, что

∠BKE = 180∘− ∠EKC = 180∘− α

Тогда $EC ′BK$ — вписанный четырехугольник, так как сумма противоположных углов $BKE$ и $EC ′B$ равна $180∘.$

Три точки $E,$ $K$ и $B$ единственным образом задают окружность, значит, $′ AC$ — диаметр окружности, проходящей через точки $A,$ $E,$ $K,$ $B$ и $′ C ,$ так как $′ ∘ ∠C BA =90 .$ По теореме Пифагора

′ ∘ ---------- AC = BA2 + C′B2 =13

Тогда радиус окружности равен $13 2 .$

$PIC$