Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №63

Просмотров 7 Комментарии 0

Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ABC,$ касается стороны $BC$ в точке $P$ и пересекает отрезок $BO$ в точке $Q.$ При этом отрезки $OC$ и $QP$ параллельны.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $BQP,$ если $AC = 2a$ и точка $O$ делит высоту $BD$ треугольника в отношении $BO :OD = 3:1.$

а) Обозначим угол $BCO = γ,$ $CO$ — биссектриса угла $BCA,$ $CO ∥ PQ.$ Тогда имеем:

∠OCA = ∠BCO = ∠BP Q = γ

Так как $∠BP Q$ — угол между касательной и хордой $QP,$ то он равен половине градусной меры дуги $QP.$ Центральный угол $P OQ$ опирается на эту дугу, значит, $∠POQ = 2γ.$

$PIC$

Поскольку $P$ — точка касания окружности и стороны $BC,$ то треугольник $BP O$ прямоугольный и $∠OBP = 90∘− 2γ.$ Так как $BO$ — тоже биссектриса, то

∘ ∠ABO = ∠OBP = 90 − 2γ

По сумме углов треугольника $ABC$ получаем

∠CAB = 180∘− 2γ − (180∘− 4γ)= 2γ

Тогда имеем $∠CAB =2γ = ∠BCA,$ отсюда треугольник $ABC$ — равнобедренный.

б) Поскольку треугольник $ABC$ — равнобедренный, то $BO$ — медиана и высота, отсюда $AD = DC = a.$ Так как $CO$ — биссектриса в треугольнике $CDB,$ то