Xopды 
и 
окружности делят друг друга на три равные части.
a) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника 
если точки 
последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
а) Так как хорды оказываются разделены точками пересечения на три равные части, то каждая точка пересечения делит хорду в отношении 
Возьмем произвольные две хорды из наших трех и назовем их 
и 
Пусть их точка пересечения 
тогда не умаляя общности имеем:
Тогда 
по углу 
и двум сторонам, следовательно, 
как соответствующие у подобных треугольников.
Вспомним, что точки 
лежат на одной окружности, следовательно, 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
Получили, что в треугольнике 
углы при вершинах 
и 
равны, отсюда 
и 
Мы доказали равенство двух произвольных хорд, а значит, все хорды равны между собой.
б) Из пункта а) ясно, что треугольник, образованный пересечениями хорд — правильный. Обозначим длину его стороны через 
тогда из подобия, доказанного в первом пункте, ясно, что
Рассмотрим трапецию 
Проведем диагональ 
и найдем значения тригонометрических функций от углов 
и 
Для этого воспользуемся несколько раз теоремой косинусов:
Заметим, что 
как центральный, опирающийся на ту же дугу, аналогично 
Отрезки 
как радиусы. Очевидно, что площадь четырехугольника 
составляет треть от площади всего шестиугольника. Найдем ее.
