Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №60

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны стороны $AC =15,$ $BC = 8.$ Oкружность радиуса 2,5 с центром $O$ на стороне $BC$ проходит через вершину $C.$ Вторая окружность касается катета $AC,$ гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

a) Докажите, что радиус второй окружности меньше чем 0,25 длины катета $AC.$

б) Найдите радиус второй окружности.

(МИОО 2015)

а) Пусть $S$ — центр второй окружности, $K$ — точка касания окружностей, тогда $S,$ $K,$ $O$ лежат на одной прямой. Пусть $M$ и $L$ — точки касания второй окружности и сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

Обозначим радиус второй окружности через $r = SM = SL,$ отрезки касательных к ней из точки $A$ за $a= AM = AL,$ угол $BAC$ за $2α.$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$ имеем:

∘---------- ∘ ------- √--- AB = AC2 + BC2 = 152+ 82 = 289= 17

Вторая окружность касается сторон угла $BAC,$ следовательно, её центр $S$ лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом,

∠MAS = ∠LAS = α

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ASL.$ В нём имеем:

tgα = tg∠LAS = SL- = r AL a

По формуле тангенса половинного угла

tgα = --sin2α-- 1+ cos2α

Из прямоугольного треугольника $ABC$ с углом $∠BAC = 2α:$

$pict$

Таким образом,

-8 tgα = --sin2α--= -1715= ---8-- = 1 1+ cos2α 1+ 17 17+ 15 4

Следовательно,

r 1 a = tg α= 4

Тогда, так как $a< AC,$ то

r = a< AC- 4 4

Что и требовалось доказать.

б) По предыдущему пункту $a= 4r.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MSB.$ В нём

BM = AB − AM = 17− a= 17− 4r

Тогда по теореме Пифагора

BS2 = BM2 + SM2 =172+ 16r2− 136r +r2 = 17r2− 136r+ 172

$PIC$

Рассмотрим треугольник $BOS.$ В нём

$pict$

Запишем теорему косинусов для треугольника $BOS :$

$2 2 2 BS =BO + SO − 2⋅BO ⋅SO ⋅cos∠BOS 17r2− 136r +172 =30,25+ r2 +5r+ 6,25 − 11(r+ 2,5)cos∠BOS 16r2− 141r+ 252,5+ 11(r +2,5)cos∠BOS = 0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $LSC.$ В нём

CL = AC − AL = 15− a= 15− 4r

Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 2 2 2 2 2 CS = CL + SL = 15 +16r − 120r+ r = 17r − 120r+ 15

Рассмотрим треугольник $COS.$ В нём $CO =2,5,$ $SO = r+ 2,5.$

Запишем теорему косинусов для треугольника $COS :$

$CS2 =CO2 + SO2 − 2⋅CO ⋅SO ⋅cos∠COS 2 2 2 17r − 120r +15 = 6,25+ r +5r+ 6,25 + 5(r+ 2,5)cos∠BOS 16r2− 125r+ 212,5 − 5(r+ 2,5)cos∠BOS =0$

Приравняем левые части двух полученных уравнений:

$16r2 − 141r+ 252,5+ 11(r+ 2,5)cos∠BOS = 16r2− 125r+ 212,5 − 5(r+ 2,5)cos∠BOS −141r+ 252,5+ 11(r +2,5)cos∠BOS = −125r+ 212,5− 5(r+ 2,5)cos∠BOS 252,5 + 11(r+ 2,5)cos∠BOS =16r+ 212,5 − 5(r+ 2,5)cos∠BOS 40 +11(r+ 2,5)cos∠BOS =16r− 5(r+ 2,5)cos∠BOS 11(r+ 2,5)cos∠BOS + 5(r+ 2,5)cos∠BOS = 16r− 40 16(r+ 2,5)cos∠BOS = 16r− 40 (r+ 2,5)cos∠BOS = r− 2,5$