Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $E.$ Биссектрисы углов $DAE$ и $EBC$ пересекаются в точке $F,$ причем $ECF D$ — параллелограмм.

а) Докажите, что треугольники $BCF$ и $ADF$ равны.

б) Найдите величину угла $AFB.$

а) Обозначим половину угла $DAE$ за $α,$ а половину угла $EBC$ за $β.$ Тогда так как $ECF D$ — параллелограмм, то $CF ∥ED$ и $EC ∥DF.$ Значит, $∠EBF$ и $∠CF B$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $CF$ и $BD$ и секущей $BF.$ Следовательно, $∠CF B = β.$

Аналогично доказывается, что $∠DF A= α.$

$PIC$

Следовательно, $△BCF$ и $△ADF$ — равнобедренные, то есть $BC = CF$ и $AD =DF.$ Но так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC = AD,$ следовательно, $BC =CF =AD = DF = x.$

Так как $ECF D$ — параллелограмм, то $EC = DF = x,$ $ED = CF = x.$ Следовательно, $EC =CF = FD = ED = x.$ То есть $ECF D$ — ромб.

Значит, из $BC = EC$ следует, что $△BCE$ — равнобедренный, то есть $∠BEC = 2β.$ Аналогично $△AED$ — равнобедренный и $∠AED = 2α.$ Но $∠BEC$ и $∠AED$ — вертикальные, следовательно, $2β = 2α,$ откуда $α = β.$

$PIC$

б) Заметим также, что $∠ADE = ∠EBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD.$ Следовательно, в $△AED$ все углы равны по $2α.$ Значит, он равносторонний и $2α = 60∘.$

Тогда $∠CED = 180∘− 2α= ∠CF D$ как противоположные углы параллелограмма, следовательно,

∘ ∘ ∘ ∠AF B =∠CF D − α − α = 180 − 2α − 2α= 180 − 4α= 60

Замечание.

Заметим, что вообще говоря $ABCD$ — прямоугольник, потому что из $AE = ED$ следует, что и $AC = BD$ — а равенство диагоналей параллелограмма и есть признак того, что это прямоугольник.