Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №59

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R,$ касающаяся стороны $AC$ в точке $M,$ причём $AM = 2R$ и $CM = 3R.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что $R = 2.$

а) Сразу отметим пары равных отрезков касательных:

AL = AM = 2R, CK = CM = 3R, BL = BK = x

Найдем $x.$ Пусть $p$ — полупериметр треугольника. Запишем тогда площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

$pict$

$PIC$

Тогда имеем:

2 2 2 2 2 2 2 AB + CB =(3R) + (4R) = 25R = (5R) = AC

Cледовательно, по обратной теореме Пифагора угол $B$ треугольника прямой.

б) Известно, что в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности, обозначим ее $O.$ Тогда имеем:

OM = AC- − AM = R- 2 2

$PIC$

Так как по условию пункта б) $R = 2,$ то по теореме Пифагора в треугольнике $MIO$ имеем:

∘ ---------- ∘-- √- OI = MO2 +MI2 = R 5= 5 4

Задачи формата ЕГЭ