Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №58

Просмотров 6 Комментарии 0

Первая окружность с центром $O$ , вписанная в равнобедренный треугольник $KLM$ , касается боковой стороны $KL$ в точке $B$ , а основания $M L$ — в точке $A$ . Вторая окружность с центром $O1$ касается основания $M L$ и продолжений боковых сторон.

a) Докажите, что треугольник $OLO1$ прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен $6$ и $AK = 16$ .

(МИОО 2016)

Сразу отметим, что в силу симметрии точки касания малой и большой окружностей с основанием $M L$ треугольника совпадают, то есть $A$ — точка касания обеих окружностей со стороной $M L$ .

а) Известно, что центр вневписанной окружности $O 1$ является точкой пересечения биссектрисы из вершины $K$ треугольника и двух внешних биссектрис, тогда $∠ALO1 = ∠O1LC$ . Также $∠KLO = ∠OLA$ , так как $O$ — центр вписанной окружности. Получили

$180∘ = ∠KLO + ∠OLA + ∠ALO1 + ∠O1LC = 2∠OLA + 2∠ALO1 ⇒ 90∘ = ∠OLA + ∠ALO1 = ∠OLO1.$

$PIC$

б) Сразу заметим, что $∠KBO = ∠LAO = ∠LCO1 = 90∘$ , так как соответствующие радиусы перпендикулярны касательным. Кроме того, $OA = OB = 6$ как радиусы. Точки $K$ , $O$ и $A$ лежат на одной прямой, поэтому $OK = KA − OA = 10$ . По теореме Пифагора в $△ OKB$ : $KB = √OK2---− OB2-= 8$ .

$△ KBO ∼ △KAL$ по двум углам с коэффициентом $KB- 8- 1 OB- 6- k1 = KA = 16 = 2 ⇒ AL = k1 = 12 = 12$ . Кроме того, $LB = LA = LC = 12$ как отрезки касательных из одной точки.

$△ AKL ∼ △CKO1$ по двум углам с коэффициентом $k2 = KA-= ---16---= 1⇒ KC 8+12+12 2$ радиус большей окружности $AL- 12 O1C = k2 = 12 = 24$ .

$PIC$