Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №57

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ проведены две высоты $BM$ и $CN,$ причём $AM :CM = 2:3$ и $-2- cos∠BAC = √5 .$

a) Докажите, что угол $ABC$ тупой.

б) Найдите отношение площадей треугольников $BMN$ и $ABC.$

а) В первом пункте высота из $C$ никак не фигурирует, поэтому пока забудем про нее. У угла $A$ косинус положителен, значит, он острый, следовательно, точка $M$ лежит на луче $AC.$ Так как $AM :CM <1,$ то точка $M$ находится ближе $A,$ чем к точке $C,$ а значит, точка $M$ лежит строго на отрезке $AC.$ Так мы поняли, какой примерный вид должна иметь картинка.

Пусть $AM = 2a,$ $MC = 3a.$ Тогда

$pict$

По теореме косинусов

$pict$

Получили, что $cos∠ABC < 0,$ значит, $∠ABC$ — тупой.

$PIC$

б) Нарисуем новую картинку, пользуясь знаниями из первого пункта. Заметим, что $△ ABM ∼ △ACN$ по двум углам ( $∘ ∠BMA = ∠ANC = 90 ,$ $∠A$ — общий) с коэффициентом

AB 1 k = AC = √5-

Тогда

√- AN = AM--= 2 5a = 2AB k

Значит,

AB = BN = √5a

Следовательно, $SABM = SBNM ,$ так как точки $A,$ $B$ и $N$ лежат на одной прямой. Итого

2 SBMN- = ---SABM-----= ---a-3- = 2 SABC SABM + SMBC a2 + 2a2 5

$PIC$

Задачи формата ЕГЭ