Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №56

Просмотров 7 Комментарии 0

Окружность, проходящая через вершины $A$ , $C$ и $D$ прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ пересекает меньшую боковую сторону $AB$ в точке $P$ и касается прямой $BC.$ Известно, что $AD = CD.$

a) Докажите, что $CP$ — биссектриса угла $ACB.$

б) В каком отношении прямая $DP$ делит площадь трапеции?

(МИОО 2016)

а) Вписанный угол $CAP,$ опирающийся на хорду $PC,$ равен углу $BCP$ между касательной $BC$ и хордой $P C.$ По условию трапеция прямоугольная, следовательно, $∠ABC = ∠DAB = 90∘.$ Далее имеем:

) ∠BCP + ∠CP B = 90∘ = ∠CAB +∠DAC } ∠CAB = ∠CAP = ∠BCP ) ⇒ ∠CP B = ∠DAC

Заметим, что четырехугольник $AP CD$ — вписанный, поэтому

) ∠AP C + ∠CDA = 180∘} ∠AP C + ∠CP B = 180∘) ⇒ ∠CP B = ∠CDA

$PIC$

Также из условия $AD =CD$ следует, что $∠DAC =∠ACD.$ Получили, что в треугольнике $ACD$ все углы равны, следовательно, он равносторонний и углы, обозначенные на картинке двумя дужками, равны $60∘.$ Тогда имеем:

∠BCP = 30∘, ∠BCA = ∠DAC = 60∘ ⇒ ∠PCA = 30∘ = ∠BCP

Значит, $PC$ — биссектриса угла $BCA.$

б) Обозначим площадь треугольника $APD$ через $S.$ Из первого пункта мы знаем равенство углов $∠CAP = ∠PCA,$ отсюда $P C = P A.$ Тогда треугольники $AP D$ и $CP D$ равны по трем сторонам и $SAPD = S = SCPD.$